چند وقت پيش كتابي را با نام 1، 2، 3، ... بينهايت (نوشته ژرژ گاموف، ترجمه احمد بيرشك*) خريدم. كتاب مباحث بسيار جالبي را با زبان بسيار ساده توضيح داده. مبحث بينهايت‌ها در اين كتاب به نظرم خيلي جالب آمد. مطالب زير  بيشتر از اين كتاب (به اضافه چيزهايي كه قبلا مي‌دانستم) در مورد دنياي شگفت‌انگيز بينهايت‌هاست.

يك سؤال ساده: جمعیت شهر تهران بیشتر است یا شهر توکیو؟ البته جواب را به سادگي با «شمردن» تعداد افراد هر شهر مي‌توان به دست آورد.

حالا يك سؤال متفاوت : تعداد اعداد زوج بيشتر است يا تعداد اعداد فرد؟ شايد ابتدا جواب دادن به اين سؤال مبهم باشد؛ زيرا ممكن است مقايسه  تعداد اعضاي دو مجموعه را مشروط به شمارش تعداد اعضاي هريك از مجموعه‌ها بدانيم در حالي كه مجموعه اعداد زوج و يا فرد نامتناهي هستند؛ يعني در واقع تعداد اعضاي هريك از آن‌ها «بينهايت» است.

اما براي مقايسه تعداد اعضاي اين نوع مجموعه‌ها راه حل ساده‌اي پيشنهاد شده است. اگر بين اعضاي مجموعه A و مجموعه B بتوان تناظر يك به يك برقرار كرد و اين تناظر را تا هر عضو دلخواه بتوان ادامه داد مي‌توان گفت كه تعداد اعضاي اين دو مجموعه برابر است. در مورد مثال بالا مي‌توان به شكل زير عمل كرد :

 در مقابل هر عدد زوج يك عدد فرد وجود دارد و در مقابل هر عدد فرد يك عد زوج. بنابراين تعداد اعضاي مجموعه‌هاي بينهايت بزرگ اعداد زوج و فرد با هم برابرند. اين نتيجه در واقع بسيار طبيعي به نظر مي‌رسد.

حالا يك سوال ديگر: مجموعه اعداد طبيعي بزرگ‌تر است يا مجموعه اعداد فرد؟! شايد در ابتدا بگوييم كه مجموعه اعداد طبيعي بزرگتر است زيرا نه تنها اعداد فرد را در بر دارد بلكه شامل اعداد زوج نيز هست. اما اگر بخواهيم طبق قاعده بالا اين دو مجموعه را مقايسه كنيم به نتيجه جالبي مي‌رسيم!

  ملاحظه مي‌شود كه توانستيم تناظر يك‌به‌يك را بين اعضاي «مجموعه اعداد فرد» و «مجموعه اعداد طبيعي» برقرار كنيم و بنابراين اين دو مجموعه هم‌اندازه هستند. اين نتيجه درست به نظر نمي‌رسد زيرا مجموعه اعداد فرد فقط شامل قسمتي از اعداد طبيعي است. اما بايد توجه كرد وقتي ما با بينهايت‌ها سر و كار داريم بايد منتظر ديدن خواصي جز آن‌چه متداول است باشيم.

يك سوال ديگر! : مجموعه اعداد گوياي مثبت بزرگتر است يا مجموعه اعداد طبيعي؟! شايد تعجب كنيد، اما بايد بگويم كه طبق قاعده بالا مي‌توان تناظر يك به يكي بين اعضاي اين دو مجموعه برقرار كرد! روش آن در شكل زير ديده مي‌شود :

اگر در جهت فلش قرمز حركت كنيم و به هر عددي برسيم، آن را يادداشت كنيم ( و اگر به عدد تكراري رسيديم از آن بگذريم)، دنباله‌اي از اعداد را به دست آورده‌ايم كه در نهايت تمام اعداد گوياي مثبت را در بر مي‌گيرد. حالا تناظر يك به يك را بين اين دنباله و اعداد طبيعي برقرار مي‌كنيم :

 مي‌بينيد كه طبق قاعده تناظر، مجموعه اعداد گويا و اعداد طبيعي هم‌اندازه هستند! چيزي كه با احساس ما كاملا در تضاد است.

* این کتاب چون چاپ قدیم است تقریبا نایاب است. می‌توانید اسکن‌شده آن را از اینجا دانلود کنید. (حجم فایل ۲۵ مگابایت. کیفیت اسکن نه چندان خوب اما خوانا است. حکایت لنگه کفش و بیابان!)